摘要：介紹一種計算Mie散射系數(shù)的新方法，給出計算實例。
關(guān)鍵詞：Mie散射 Mie系數(shù) Mie計算Study of calculating method of mie scattering coefficient
Wang shaoqing Ren zhongjing Zhang ximing Hefang Jianghaiying
(Shangdong lnstitute of building materiele.Jinan 25022)
Abstract: A new method of calculating mie coefficient is introduced,and calculating examples are given
Keywords :Mie scattering ,Mie coefficient ,Mie calculation
1引言
Mie理論是球形顆粒對單色光的散射場分布的嚴(yán)格解析解。目前在環(huán)保、動力、氣象、天文、兩相流及粉體顆粒尺寸分布測量等工程技術(shù)領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用。利用單一顆?；蝾w粒群光散射場的測量數(shù)據(jù), 可以反推得散射顆?；蝾w粒群的很多物理性質(zhì), 如顆粒的尺寸和顆粒的折射率等。但反推前必須事先計算出各種尺寸的顆粒在各種復(fù)折射率下的散射場分布數(shù)據(jù)。由于散射解十分復(fù)雜, 故雖然其解折表達式早在年速、準(zhǔn)確計算, 以滿足工程測量, 尤其是在線式工程測量方面的需要, 一直是多年來沒有得到*解決的一個難題。
1968年Davezui先報道了完整的Mie散射計算方法，又針對部分計算提出新算法。國內(nèi)也有人發(fā)表了他們自己的算法。但總的看來, 這些算法均有各自的局限性。尤其是當(dāng)顆粒尺寸或折射率的虛部值較大時, 往往計算速度過慢或產(chǎn)生溢出和不收斂等現(xiàn)象。本文介紹散射新算法。該算法的特點是不受顆粒尺寸及折射率的限制, 不會產(chǎn)生溢出和不收斂現(xiàn)象, 且具有較快的計算速度。
2 Mie散射系數(shù)的計算公式
Mie散射計算的中心問題是計算Mie散射系數(shù)an和bn，其表達式為
其中，a為顆粒的尺寸參數(shù)，定義為：
D為顆粒的直徑，為入射光在顆粒周圍介質(zhì)中的波長，而m為顆粒在周圍介質(zhì)中的相對復(fù)折射率，即：
式中，Jn+1和Nn+1分別為半整數(shù)階的*類和第二類貝塞爾函數(shù)。
以上是計算Mie散射系數(shù)的基本公式。與Mie散射有關(guān)的物理量如散射場強度、顆粒的消光系數(shù)、散射系數(shù)和吸收系數(shù)、散射光中兩偏振分量的相差、顆粒群的比濁度、不對稱因子等）均可利用Mie散射系數(shù)求得。
3 計算產(chǎn)生溢出的原因
計算M ie 散射系數(shù)須先計算和一般采用遞推法。遞推又分為向前遞推(即從n=0開始) 與向后遞推(即從n=N 開始至n=0為頂先設(shè)定值)。實驗表明, 向前遞推總是快于向后遞推。
分析（8）（9）兩式可知，當(dāng)時，若顆粒尺寸d 很大或復(fù)折射率的虛部值m2很大, 將使得乘積m2d很大, 可能使(8)(9)兩式中的項的值超過計算機的數(shù)據(jù)限, 從而產(chǎn)生溢出。這是產(chǎn)生溢出的zui要原因。另外在遞推過程中, 不恰當(dāng)?shù)乃惴ㄒ部赡茉斐梢绯觥?br />4 an和bn的新算法
為解決上述問題，作者提出了新算法。將an和bn公式變形如下，令
（12）~（15）式應(yīng)采用比值形式，即四個公式中的后半段形式，這樣可避免遞減過程中a1與b1較大時乘法運算可能產(chǎn)生的溢出。在以上四式中
均為實變量函數(shù)，計算計不會產(chǎn)生溢出。關(guān)鍵是的算法如何處理才能保證計算中不產(chǎn)生溢出。Lentz算法采用連分式計算Lm值，其精度是由在大量計算基礎(chǔ)上得出一個截斷項數(shù)N與參數(shù)a及m的經(jīng)驗公式而實現(xiàn)的。這樣的經(jīng)驗公式一則有實用上的局限性，再則也會帶來截斷誤差。文獻對此經(jīng)驗公式作了改進，但扔限于a=1-100，m1=1-2，m2=0-1的范圍。下面介紹本文作者發(fā)表的關(guān)于Ln的新算法。該算法的特點是不受a及m值的限制，不會產(chǎn)生溢出或不收斂等病態(tài)現(xiàn)象，且具有較快的計算速度。令
上面導(dǎo)出的（10）~（38）構(gòu)成Mie系數(shù)an和bn是從n=1開始計算的，利用初值公式（34）~（38）式即可算得任意級數(shù)an和bn的值，故沒有舍入誤差問題。從（34）式可見，因為y=m2a<0,故無論m2和a取何值均不會產(chǎn)生初值溢出：又（12）~（16）各式采用了比的形式，避免了計算過程中溢出，這就從根本上解決了溢出的問題。再者，本算法屬于向前遞推。
5 計算實例
利用以上算法編制計算顆粒散射強度和消光系數(shù)的計算程序。當(dāng)單位振幅波長為的平面自然光入射到顆粒上時，顆粒的散射光強為
徑d=0.001μm、1.0μm、30μm和100μm，而圖1（d）、（e）為圖（b）、（c）的局部放大圖。
可見，隨著顆粒尺寸的增大，前向投射迅速加強，（如圖1（a）、（b）和（c）所示）；并且隨著顆粒尺寸的增大，出現(xiàn)了復(fù)雜的旁瓣及明顯的后向散射現(xiàn)象。圖2為顆粒的散射光電分布隨折射率實部與虛部的變化情況?？梢姡S著m1和m2的增大，雖然顆粒尺寸不變，散射光也加強，且后向散射逐漸增強。
圖3 (a )、(b) 為消光系數(shù)的計算結(jié)果。其圖3 (a) 表示消光系數(shù)隨折射率實部的變化；圖3 (b ) 表示消光系數(shù)隨折射率虛部的變化?？梢婋S著顆粒尺寸的增大，消光系數(shù)趨近于2。而折射率的增大，尤其是折射率虛部的增大，使這一趨勢變得更快和更明顯；另外，折射率虛部M2不等于0時，消光系數(shù)的振蕩迅速消失。
以上給出的計算結(jié)果與已發(fā)表的計算結(jié)果一致, 且與電磁學(xué)理論頂計的消光系數(shù)的變化規(guī)律相符合, 驗證了本算法的正確性。
參考文獻：
1M Born and E Wolf. Principles of optics 6th Edition. New York ;Pergaman Press, 1990;611
2Petr Chylek, V Ramaswamy, A Ashkin and J M Dziedzic. Simultaneous determination of refractive index and size of spherical dielectric particles from light scattering data. Appl. Opt, 1988;22 (15):2302—2307
3J V Dave. Report 320-3237 (IBM Scientific Center) 1968
4W J Lenu. Appl. Opt, 1976;15:668
5W J Wiscome. Appl. Opt, 1980? 19 (9) :1505
6 顧冠亮，王乃寧。有關(guān)光散射物理量的數(shù)值計算。上海機械學(xué)院學(xué)報,1984; (4):21
7 余其錚，馬國強，劉曉彥.Mie散射箅法的改進。哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)院,1987:(3):21
8 鄭剛，蔡小舒，王乃寧。Mie散射的數(shù)值計算。應(yīng)用激光,1992; 12 (.5):220
9 H C Van de Hulst. Light scattering by small pacticles.New York:Dover Publication, Inc. 1981:Chp 13
